Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫圓，P是⊙O上一動點且在第一象限內，過點P作⊙O的切線，與x、y軸分別交于點A、B．
（1）求證：△OBP與△OPA相似；
（2）當點P為AB中點時，求出P點坐標；
（3）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q，O，A、P為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，試求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：
∵AB是過點P的切線，
∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；
∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△OPB中△APO中，
∴△OPB∽△APO．

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴OP是∠AOB的平分線，
∴點P到x、y軸的距離相等；
又∵點P在第一象限，
∴設點P（x，x）（x＞0），
∵圓的半徑為2，
∴OP=，解得x=或x=-（舍去），
∴P點坐標是（，）．

（3）存在；
①如圖設OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；
∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，
∴∠POQ=90°，
∵OP=OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，
∴∠BOQ=∠BOP=45°，
∴∠AOP=45°，
設P（x，x）、Q（-x，x）（x＞0），
∵OP=2代入得，解得x=，
∴Q點坐標是（-，）；
②如圖示OPAQ為平行四邊形，
同理可得Q點坐標是（，-）．
分析：（1）在Rt△OAB中，由切線的性質知：OP⊥AB，易證得△OAP∽△BPO．
（2）當P為AB中點時，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P點的橫、縱坐標相等，已知OP的長，易求得點P的坐標．
（3）此題應分兩種情況：
①OP為對角線，此時OQ∥AP，由于∠OPA=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此時OB為∠POQ的對角線，即P、Q關于y軸對稱由此得解；
②OP為邊，此時OP∥AQ，由于∠OPA=90°，那么平行四邊形OPAQ為矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．
點評：此題主要考查的是切線的性質以及平行四邊形的判定，還涉及到相似三角形的判定、等腰直角三角形的性質、角平分線的定義等知識，難度較大．