Question

8．將正方形ABCD和正方形EFGB如圖1擺放，連結(jié)DF．
（1）如圖2，將圖1中的正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，連接DF、CG相交于點M，請猜想∠DMC的度數(shù)并證明；
（2）如圖3，將圖2中的正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)β角（0°＜β＜90°），連接DF，CG相交于點M，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接BF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到∠FBC=∠CBD=45°，由此推出∠FBD=∠GBC=90°，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，由此即可證△BFD、△BGC相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）將圖1中的正方形BEFG繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°），如圖所示，和（1）一樣證明△BFD、△BGC相似即可解決問題．

解答 解：（1）∠DMC=45°，
如圖2，連接BF，
∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，
∴∠FBC=∠CBD=45°，
∴∠FBD=∠GBC=90°，
∵BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴∠BCG=∠BDF，
∵∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF
=180°-（∠BDF+∠CDF）-∠BCD
=180-45°-90°
=45°；

（2）如圖3，
∵四邊形ABCD、四邊形BEFG是正方形，
∴∠FBD=∠GBC，BF=$\sqrt{2}$BG，BD=$\sqrt{2}$BC，
∴△BFD∽△BGC，
∴$\frac{DF}{CG}$=$\sqrt{2}$，∠BCM=∠BDM，
∵∠DMC=180°-∠DCM-∠CDF
=180°-（∠BCD-∠BCM）-∠CDF
=180°-∠BCD+∠BCM-（∠CDB+∠BDM）
=180°-∠BCD-∠BDM-∠CDB-∠BDM
=180°-∠BCD-∠CDB
=180-90°-45°
=45°，
∴∠DMC=45°；
∴$\frac{DF}{CG}$=$\sqrt{2}$，
∴∠DMC=45°

點評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，通過利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造相似三角形的相似條件，然后利用相似三角形性質(zhì)就可以解決問題，判斷△BFD∽△BGC是解本題的關(guān)鍵．