Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)點(diǎn)F在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△BON面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）連接AN，當(dāng)△BON面積最大時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)求使得△BOP與△OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)）的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

將A（﹣2，2），B（6，6）代入，得 ，解得 ，

∴y= x+3，令x=0，

∴E（0，3）

（2）

解：設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

將A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 ，解得 ，

∴y= x2﹣ x

（3）

解：依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立 ，得x2﹣6x﹣4m=0，當(dāng)△=36+16m=0時(shí)，過N點(diǎn)與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，則點(diǎn)N到BO的距離最大，所以△BON面積最大，

解得m=﹣ ，x=3，y= ，即N（3， ）；

此時(shí)△BON面積= ×6×6﹣ （ +6）×3﹣ × ×3=

（4）

解：過點(diǎn)A作AS⊥GQ于S，

∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3， ），

∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，

OG=3，NG= ，NS= ，AS=5，

在Rt△SAN和Rt△NOG中，

∴tan∠SAN=tan∠NOG= ，

∴∠SAN=∠NOG，

∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，

∴∠OAN=∠NOB，

∴ON的延長線上存在一點(diǎn)P，使得△BOP∽△OAN，

∵A（﹣2，2），N（3， ），

∵△BOP與△OAN相似（點(diǎn)B、O、P分別與點(diǎn)O、A、N對(duì)應(yīng)），即△BOP∽△OAN，

∴BO：OA=OP：AN=BP：ON

又∵A（﹣2，2），N（3， ），B（6，6），

∴BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，

∴OP= ，BP= ，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4x，x），

∴16x2+x2=（ ）2，

解得x= ，4x=15，

∵P、P′關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（15， ）或（ ，15）．

【解析】（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線AB的解析式，令x=0，可求E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，列方程組求a、b、c的值即可；（3）依題意，得直線OB的解析式為y=x，設(shè)過N點(diǎn)且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)△=0時(shí)，△BON面積最大，由此可求m的值及N點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據(jù)勾股定理分別計(jì)算出BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，這樣可求出OP= ，BP= ，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），再利用勾股定理得到關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可．