Question

2．在平面直角坐標系中B（3，2），BC⊥y軸于C，BA⊥x軸于A，點E在線段AB上從B向A以每秒1個單位的速度運動，運動時間為t秒（0＜t＜2）．將BE沿BD折疊，使E點恰好落在BC上的F處．
（1）如圖1，若E為AB的中點，請直接寫出F、D兩點的坐標：F（2，2）    D（1，0）
（2）如圖1，連接CD，在（1）的條件下，求證：CD=FD．
（3）如圖2，在E點運動的同時，M點在OC上從C向O運動，N點在OA上從A向O運動，M的運動速度為每秒3個單位，N的運動速度為每秒a個單位．在運動過程中，△CMF能與△ANE全等嗎？若能，求出此時a與t的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出OA=BC=3，OC=AB=2，借助中點和折疊得出CF=2，再判斷出，△AED≌△GFD，求出OD=1；
（2）有（1）得出，△AED≌△GFD，而DG⊥BC，從而判斷出△CDF是等腰三角形，即可；
（3）由線段的長，要△CMF能與△ANE全等，只有△CMF≌△AEN，利用運動，用時間表示出CM=3t，AN=at，CF=3-t，AE=2-t，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等求出a，t．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，且B（3，2），
∴OA=BC=3，OC=AB=2，
∵E為AB的中點，
∴AE=BE=1，
由折疊得，BF=BE=1，
∴CF=2，
∴F（2，2），
如圖1，

過點D作DG⊥BC于G，
由折疊得，DE=DF，∠BED=∠BFD，
∴∠AED=DFC，
在△AED和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠DGF=90°}\\{∠AED=∠GFD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GFD，
∴AD=DG=OC=2，
∴OD=1，
∴D（1，0），
故答案為：2，2，1，0；
（2）如圖1，過點D作DG⊥BC于G，
由折疊得，DE=DF，∠BED=∠BFD，
∴∠AED=DFC，
在△AED和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠DGF=90°}\\{∠AED=∠GFD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GFD，
∴GF=AE=1，
∵CF=2，
∴CG=1，
∴CG=FG，
∵DG⊥CG，
∴CD=FD；
（3）能全等，即：△CMF≌△AEN，
理由：
∵M點在OC上從C向O運動，N點在OA上從A向O運動，M的運動速度為每秒3個單位，N的運動速度為每秒a個單位，點E在線段AB上從B向A以每秒1個單位的速度運動，
∴CM=3t，AN=at，BE=t，
∴AE=2-t，
∵將BE沿BD折疊，使E點恰好落在BC上的F處，
∴BF=BE=t，
∴CF=BC-BF=3-t，
∵BF=BE，BC≠AB，
∴AE=CF，
∵△CMF與△ANE全等
∴△CMF≌△AEN，
∴CM=AE，CF=AN，
∴3t=2-t，3-t=at，
∴t=$\frac{1}{2}$，a=5．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，中點的意義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷△AED≌△GFD．作出輔助線是解本題的難點．