Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，在射線PA上截取PD=PC，連接CD，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABE=∠BCE；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷sin∠BCE的值是否隨點(diǎn)P位置的變化而變化，提出你的猜想并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出∠ABE=∠BCE；
（2）連接AE，由（1）的結(jié)論及圓周角定理可知∠BCE=∠A=45°，故sin∠BCE是定值，與P的位置無(wú)關(guān)．

解答：證明：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠PCB=∠E．
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，
∴∠ABE=∠BCE．

（2）猜想：sin∠BCE的值不隨點(diǎn)P位置的變化而變化，
證明：如圖，連接AE，
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴∠BCE=∠A=45°．
∴sin∠BCE=sin45°=

2

2

．
∴sin∠BCE的值不隨點(diǎn)P位置的變化而變化．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是圓周角定理及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形解答．本題第（2）問(wèn)的基本思路是：猜想sin∠BCE的值不變←∠BCE不變←∠ABE不變←證明∠ABE=45°，是考查圓的有關(guān)性質(zhì)的一道探索性試題．