Question

【題目】已知射線AB∥射線CD，P為一動點，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE與CE相交于點E.

(1)在圖1中,當點P運動到線段AC上時,∠APC=180°.

①直接寫出∠AEC的度數；②求證：∠AEC=∠EAB+∠ECD；

(2)當點P運動到圖2的位置時，猜想∠AEC與∠APC之間的關系，并加以說明；

(3)當點P運動到圖3的位置時,(2)中的結論是否還成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出∠AEC與∠APC之間的關系，并加以證明。

Answer 1

【答案】（1））①∠AEC=90°②見解析；（2）∠AEC=∠APC， 理由見解析；（3）不成立,∠AEC=180∠APC ，理由見解析

【解析】

（1）①由平行線的性質可得出∠PAB+∠PCD=180°，進而可得出∠AEC的度數；

②在圖1中，過E作EF∥AB，根據平行線的性質可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，進而即可證出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD；

（2）猜想：∠AEC=∠APC，由角平分線的定義可得出∠EAB=∠PAB、∠ECD=∠PCD，由（1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，進而即可得出∠AEC=（∠PAB+∠PCD）=∠APC；

（3）在圖3中，（2）中的結論不成立，而是滿足∠AEC=180°-∠APC，過P作PQ∥AB，由平行線的性質可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，進而可得出∠PAB+∠PCD=360°-∠APC，再由角平分線的定義可得出∠EAB=∠PAB、∠ECD=∠PCD，結合（1）的結論即可證出∠AEC=180°- ∠APC．

(1)①∵AB∥CD，

∴∠PAB+∠PCD=180°，

∴∠AEC=90°；

②證明：在圖1中,過E作EF∥AB，則∠AEF=∠EAB.

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠CEF=∠ECD.

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD.

(2)猜想：∠AEC=∠APC，理由如下：

∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=∠PCD.

由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD，

∴∠AEC=∠PAB+∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= ∠APC.

(3)在圖3中,(2)中的結論不成立,而是滿足∠AEC=180∠APC，

其證明過程是：

過P作PQ∥AB,則∠PAB+∠APQ=180°.

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CPQ+∠PCD=180.

∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,即∠PAB+∠PCD=360°∠APC.

∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=∠PCD.

由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD，

∴∠AEC=∠PAB+∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= 180°- ∠APC．