【題目】已知:拋物線:
(
、
、
為常數(shù),且
)與
軸分別交于
,
兩點(diǎn),與
軸交于點(diǎn)
.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)將平移后得到拋物線
,點(diǎn)
、
在
上(點(diǎn)
在點(diǎn)
的上方),若以點(diǎn)
、
、
、
為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,求拋物線
的解析式.
【答案】(1);(2)
或
或
【解析】
(1)設(shè)交點(diǎn)式,將
代入,即可求出表達(dá)式;
(2)平移拋物線,則a的值不變,設(shè)平移后的拋物線解析式為:
,作出圖形,分三種情況討論,以BC為邊作正方形有兩種,以BC為對(duì)角線作正方形有一種,根據(jù)正方形的特點(diǎn)找到D,E坐標(biāo),代入
解析式求出a即可.
(1)∵拋物線與
軸分別交于
,
兩點(diǎn),與
軸交于點(diǎn)
,
∴設(shè)交點(diǎn)式,
將代入得
,解得
∴拋物線的表達(dá)式為:
(2)設(shè)平移后的拋物線解析式為:
,
分三種情況討論:
①如圖所示,以BC為邊作正方形BCED,過(guò)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H,過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G
∵OB=OC=2
∴△OBC為等腰直角三角形
∴∠OBC=∠OCB=45°
又∵∠BCE=90°,∠EHC=90°
∴∠HCE=∠HEC=45°
在△HCE和△OBC中,
∵∠HCE=∠OBC=45°,CE=BC,∠HEC=∠OCB=45°,
∴△HCE≌△OBC(ASA)
∴CH=OB=2,HE=OC=2
∴OH=4
則E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)
同理可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)
將D,E坐標(biāo)代入得:
,解得
此時(shí)解析式為:
;
②如圖所示,以BC為邊作正方形BCED
此時(shí)E與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,D與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)
將D、E坐標(biāo)代入得:
,解得
此時(shí)解析式為:
;
③以BC為對(duì)角線作正方形BDCE
此時(shí)D點(diǎn)與原點(diǎn)重合,E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)
將D、E坐標(biāo)代入得:
,解得
此時(shí)解析式為:
;
綜上所述,解析式為:
或
或
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,
分別在
軸,
軸的正半軸上,等腰直角三角形
的直角頂點(diǎn)
在原點(diǎn),
,
分別在
,
上,且
,
.將
繞點(diǎn)
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得
點(diǎn)
,
旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
,
.
(Ⅰ)①如圖①,求的長(zhǎng);②如圖②,連接
,
,求證
;
(Ⅱ)將繞點(diǎn)
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,當(dāng)
時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2﹣8ax+12a(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限,且使△OCA∽△OBC,
(1)求OC的長(zhǎng)及的值;
(2)設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C恰好在OP的垂直平分線上時(shí),求直線BP和拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某興趣小組為了了解本校學(xué)生參加課外體育鍛煉情況,隨機(jī)抽取本校40名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)整理并繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)課外體育鍛煉情況統(tǒng)計(jì)圖中,“經(jīng)常參加”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 ;“經(jīng)常參加課外體育鍛煉的學(xué)生最喜歡的一種項(xiàng)目”中,喜歡足球的人數(shù)有 人,補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(2)該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全校學(xué)生中經(jīng)常參加課外體育鍛煉并喜歡的項(xiàng)目是乒乓球的人數(shù)有多少人?
(3)若在“乒乓球”、“籃球”、“足球”、“羽毛球”項(xiàng)目中任選兩個(gè)項(xiàng)目成立興趣小組,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求恰好選中“乒乓球”、“籃球”這兩個(gè)項(xiàng)目的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解初一學(xué)生的體重情況,學(xué)校從體檢結(jié)果中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)并將抽樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行了如下整理:
(1)請(qǐng)將圖表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;
(2)如果初一年級(jí)有1200名學(xué)生參加了本次體檢,估計(jì)等級(jí)的人數(shù);
(3)請(qǐng)結(jié)合題目中的數(shù)據(jù),給初一學(xué)生一個(gè)體檢反饋或意見(jiàn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是
的內(nèi)心,
的延長(zhǎng)線和
的外接圓圓
相交于點(diǎn)
,過(guò)
作直線
.
(1)求證:是圓
的切線;
(2)若,
,求優(yōu)弧
的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形 ABC 中,AC=BC=13,AB=10.以 BC 為直徑作⊙O 交 AB 于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) G,DF⊥AC,垂足為 F,交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.
(1)求證:直線 EF 是⊙O 的切線;
(2)求 sin∠E 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,和
都是等腰直角三角形,
,
的頂點(diǎn)
與
的斜邊
的中點(diǎn)重合,將
繞點(diǎn)
旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段
與線段
相交于點(diǎn)
,射線
與線段
相交于點(diǎn)
,與射線
相交于點(diǎn)
.
(1)求證:;
(2)求證:平分
;
(3)當(dāng),
,求
的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)O(0,0).點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),將△OCP沿OP翻折得到△OC′P.
(Ⅰ)如圖①,當(dāng)點(diǎn)C′落在線段AP上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)時(shí),求線段BC′的長(zhǎng)度.
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