Question

6．如圖，⊙O的直徑AB=2，點D在AB的延長線上，DC與⊙O相切于點C，連接AC．若∠A=30°，則CD長為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先連接BC，OC，由于AB 是直徑，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC是切線，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性質(zhì)可求∠D，再由切線的性質(zhì)可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD．

解答 解：如右圖所示，連接BC，OC，
∵AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°-30°=60°，
∵DC是切線，
∴∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA-∠BCD=60°-30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=$\sqrt{{OD}^{2}{-OC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查了直徑所對的圓周角等于90°、切線的性質(zhì)、弦切角定理、三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接BC，OC，構(gòu)造直角三角形ABC，利用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．