Question

【題目】如圖所示，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．

（1）求證：四邊形EFDG是菱形；

（2）求證：EG2=GF×AF；

（3）若，折痕AF=5cm，則矩形ABCD的周長為 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）36cm.

【解析】試題分析：（1）先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF。

（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系.

（3）過點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長，最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可．

試題解析：

（1）證明：如圖所示，

∵EG∥CD， ∴∠EGF=∠DFG．

∵由折疊的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF．

∴GD=GE=DF=EF，∴四邊形EFDG為菱形；

（2）證明：如圖所示，連接DE，交AF于點(diǎn)O．

∵四邊形EFDG為菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=OFAF．

∵OF=GF，DF=EG， ∴EG2=GFAF ；

（3）矩形ABCD的周長為36 cm.