Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，BC=3，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB' ，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）若AB=2．

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B' 落在AC上時(shí)，求t的值；

②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t值？若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）若四邊形ABCD是正方形，直線PB'與直線CD相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：∠PAM=45°.

Answer 1

【答案】（1）①t=2－4；②存在，t=2；t=6；t=2；（2）詳見解析

【解析】

（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出即可解決問題．

②分三種情形分別求解即可：如圖2-1中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-2中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-3中，當(dāng)∠CPB′=90°時(shí)．

（2）如圖3-1中，當(dāng)t<3時(shí)，由四邊形ABCD是正方形，證明△MDA≌△MB’A，即可得到結(jié)論，如圖3-2中，當(dāng)t>3時(shí)，設(shè)∠APB=x，利用全等三角形的性質(zhì)，翻折不變性即可解決問題．

解：（1）①如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°， ∴

∵∠PCB′=∠ACB，∠PB′C=∠ABC=90°，

∴△PCB′∽△ACB，

∴

∴

∴

∴

②如圖2-1中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，AB=CD= AD=BC=3，

∴

∴

在Rt△PCB′中，∵

∴

∴

如圖2-2中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)，

在Rt△ADB′中，，

在Rt△PCB′中則有：

解得t=6．

如圖2-3中，當(dāng)∠CPB′=90°時(shí)，則

則四邊形為正方形，

綜上所述，滿足條件的t的值為2s或6s或s．

（2）如圖3-1，當(dāng)t<3時(shí)，

又∵翻折，

∴∠1=∠2，AB=AB’，∠B=∠AB’P

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=AB’ ，∠D=∠B=∠AB’P= 90°

∵AM=AM

∴△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠3=∠4

∴∠2+∠3=45°，

即∠PAM=45°

　　　（圖3-1）

如圖3-2，當(dāng)t>3時(shí)，設(shè)∠APB=x

∴∠PAB=90°－x

∴∠DAP＝x

同理：△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠B’AM＝∠DAM

∵翻折

∴∠PAB＝∠PAB’＝90°－x

∴∠DAB’＝∠PAB’－∠DAP＝90°－2x

∴∠DAM＝∠DAB’＝45°－x

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°

（圖3-2）