Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時，求點P的坐標(biāo)；
（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）設(shè)點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BPA=90°，PA=PB，

∴∠PAB=45°，

∵∠BAO=45°，

∴∠PAO=90°，

∴四邊形OAPB是正方形，

∴P點的坐標(biāo)為：（ a， a）

（2）證明：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，

∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，

∴∠FPB=∠EPA，

∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，

∴△PBF≌△PAE，

∴PE=PF，

∴點P都在∠AOB的平分線上

（3）解：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，則PE=h，設(shè)∠APE=α．

在直角△APE中，∠AEP=90°，PA= ，

∴PE=PAcosα= cosα，

又∵頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），

∴0°≤α＜45°，

∴ ＜h≤ ．

【解析】（1）當(dāng)∠BAO=45°時，因為四邊形ABCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點，能證明OAPB是正方形，從而求出P點的坐標(biāo)．（2）過P點作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．（3）因為點P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．