Question

【題目】（問題背景）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等腰直角三角形，且(點(diǎn)、、按逆時(shí)針方向排列)；當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，得到等腰直角三角形(此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合).

（初步探究）

(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______.

(2)點(diǎn)在軸上移動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)妊�直角三角�?/span>的頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，連接.

求證：；

（深入探究）

(3)當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng).經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)總保持不變，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)：______.

（拓展延伸）

(4)點(diǎn)在軸上移動(dòng)過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

備用圖

Answer 1

【答案】(1)(1，1)；(2)證明見解析；(3)1；(4).

【解析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，OA=AB，題干中已知A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得OB的長度，表示出B點(diǎn)坐標(biāo)即可.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法進(jìn)行判定即可.

根據(jù)（2）的結(jié)論△ABP也為直角三角形，且AB垂直BP，且AB=OB=1，即可得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo).

先根據(jù)題意，確定B點(diǎn)、A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，分情況進(jìn)行討論，當(dāng)OP=OB時(shí)，當(dāng)OB=BP時(shí)，當(dāng)OP=BP時(shí)，分別利用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別算出AP的長，最后利用AP=AC計(jì)算出A點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）

△OAB是等腰直角三角形，且OA=AB，OA⊥BA

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為.

(2)證明：在等腰直角三角形中，，

在等腰直角三角形中，，

在和中

(3)（已證）

∴∠ABP=90°

∴PB垂直AB，P點(diǎn)在過B點(diǎn)且垂直與AB的垂線上，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,1）

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

(4)由題意和（1）可知，

設(shè)P（1，y），C（x，0），

當(dāng)OB=OP時(shí)，，

解得:或，

則或，

解得：，

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（）或（）

同理當(dāng)OB=OP時(shí)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）

當(dāng)BP=OP時(shí)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）

故答案為：