Question

12．如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為s的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果$\frac{{s}_{1}}{s}$=$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在三角形ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是三角形ABC 的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形ABC的黃金分割線？
（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D（D為AB邊上的黃金分割點）作直線DF，且DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是三角形ABC的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF平行AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線．請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)△ABC邊AB上的高為h，由三角形的面積得出$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，由點D為AB上的黃金分割點，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，得出$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，即可得出結(jié)果；
（2）由三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分，則$\frac{{S}_{1}}{S}$≠$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，即可得出結(jié)果；
（3）由DF∥CE和三角形的面積關(guān)系得出S_△DEC=S_△FCE，由S_△DGC=S_△FGC，推出S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FGC=S_{四邊形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，再由$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，得出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{{S}_{四邊形BEFC}}{{S}_{△AEF}}$，即可得出結(jié)果；
（4）畫法一：取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB、DC于M、N點，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線；
畫法二：在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM∥NE交AB于點M，連接MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．

解答 （1）解：直線CD是△ABC的黃金分割線，正確，理由如下：設(shè)△ABC邊AB上的高為h，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•h，S_△BDC=$\frac{1}{2}$BD•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，
∵點D為AB上的黃金分割點，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，
∴直線CD是△ABC的黃金分割線；
（2）證明：∵三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分，
∴S₁=S₂=$\frac{1}{2}$S，即$\frac{{S}_{1}}{S}$≠$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，
∴三角形的中位線不可能是該三角形的黃金分割線；
（3）證明：∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
設(shè)直線EF與直線CD交于點G，如圖1所示：
∵S_△DGC=S_△FGC，
∴S_△ADC=S_{四邊形AFGD}+S_△FGC=S_{四邊形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_{四邊形BEFC}=S_△BDC，
∵$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{{S}_{四邊形BEFC}}{{S}_{△AEF}}$，
∴直線EF也是△ABC的黃金分割線；
（4）解：畫法一：取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB、DC于M、N點，
則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線；如圖2所示：
畫法二：在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM∥NE交AB于點M，作直線MN，
則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線，如圖3所示．

點評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、黃金分割、三角形的面積等知識；本題綜合性強，有一定難度，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意黃金分割線的靈活運用．