Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3），反比例函數(shù)y＝（x＞0，k＞0）圖象如圖1所示，反比例函y＝（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點P（m，n），PM⊥x軸，垂足為M，PN⊥y軸，垂足為N；且OM×ON＝12．（1）求k的值．

（2）確定二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）對稱軸，并計算當a取﹣1時二次函數(shù)的最大值．（用含有字母c的式子表示）

（3）當c＝0時，計算拋物線與x軸的兩個交點之間的距離．

（4）如圖2，當a＝1時，拋物線y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）有一時刻恰好經(jīng)過P點，且此時拋物線與雙曲線y＝（x＞0，k＞0）有且只有一個公共點P（如圖2所示），我們不妨把此時刻的c記作c1，請直接寫出拋物線y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）的圖象與雙曲線y＝（x＞0，k＞0）的圖象有一個公共點時c的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)k＝12；（2 x＝，最大值為+c；（3）3；（4）見解析．

【解析】

（1）由OM×ON=12，則k=OM×ON，即可求解；
（2）y=ax（x-3）+c的對稱軸為x==，當a=-1時，函數(shù)y=ax（x-3）+c=-x（x-3）+c，即可求解；
（3）當c=0時，此時令y=0，則ax（x-3）=0，則a＜0x（x-3）=0，即可求解；
（4）分c＜c1、c=c1、c＞c1、c＞4，四種情況分別求解即可．

解：（1）由OM×ON＝12，則k＝OM×ON＝12；

（2）y＝ax（x﹣3）+c的對稱軸為x＝﹣＝，

當a＝﹣1時，函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c＝﹣x（x﹣3）+c，

即y＝﹣x2﹣3x+c＝﹣（x+）2++c；

∴此時二次函數(shù)y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的最大值為+c；

（3）當c＝0時，二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）+c＝ax（x﹣3）（a＜0；0≤x≤3）；

此時令y＝0，則ax（x﹣3）＝0，∵a＜0x（x﹣3）＝0；

即x＝0或3；

∴二次函數(shù)y＝ax（x﹣3）與x軸的兩個交點為（0，0）和（3，0），

則拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為3；

（4）①當c＜c1時，

拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c的圖象與雙曲線y＝沒有公共點；

②當c＝c1時，

拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象與雙曲線y＝有唯一公共點P；

③當c＞c1時，

拋物線向上平移，當拋物線右端點正好落在雙曲線上時，不妨設(shè)此時點B的坐標為（3，c1），c1＝4，

∴當c1＜c≤4時，拋物線與雙曲線有兩個公共點；

④當c＞4時，拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象和雙曲線始終有一個公共點；

所以當c＝c1時，c＞4時，拋物線y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的圖象和雙曲線始終有一個公共點．