Question

【題目】如圖，拋物線:與:相交于點(diǎn)、，與分別交軸于點(diǎn)、，且為線段的中點(diǎn).

（1）求的值；

（2）若,求的面積；

（3）拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為，在（2）的條件下：

①點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖12.2，點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②存在，

【解析】

（1）由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用B為OA的中點(diǎn)可得到a和b之間的關(guān)系式；

（2）由拋物線解析式可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，可證得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程，可求得OA和CD的長(zhǎng)，可求得△OAC的面積；

（3）①連接OC與l的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，可求得OC的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

②設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出△EOB的面積，過點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，可先求得BC的解析式，則可表示出EN的長(zhǎng)，進(jìn)一步可表示出△EBC的面積，則可表示出四邊形OBCE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：

（1）在y=x2+ax中，

當(dāng)y=0時(shí)，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，

∴B（﹣a，0），

在y=﹣x2+bx中，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，

∴A（0，b），

∵B為OA的中點(diǎn)，

∴b=﹣2a，

∴；

（2）聯(lián)立兩拋物線解析式可得：，

消去y整理可得，

解得，，

當(dāng)時(shí)，，

∴C（，），

過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1，

∴D（，0），

∵∠OCA=90°，

∴△OCD∽△CAD，

∴，

∴CD2=ADOD，即，

∴a1=0（舍去），（舍去），，

∴OA=-2a=，CD==1，

∴；

（3）①拋物線，

∴其對(duì)稱軸，點(diǎn)A關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)為O（0，0），C（ ，1），

則P為直線OC與l2的交點(diǎn)，

設(shè)OC的解析式為y=kx，

∴1=k，得k=，

∴OC的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

∴P（，）；

②設(shè)E（m，）（），則，

而B（，0），C（ ，1），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

由，解得：k= ，b=-2，

∴直線BC的解析式為，

過點(diǎn)E作x軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N，如圖2，

則，即x=

∴EN=

∴

∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC

，

，

∴當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴E（，），．