Question

【題目】已知：矩形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的右側(cè)作等邊．

（1）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，記等邊為等邊，則點(diǎn)到的距離是________；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)落在上時(shí)，記等邊為等邊.則等邊的邊長(zhǎng)是________；

（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，記等邊為等邊，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；

（3）①在上述變化過(guò)程中的點(diǎn)，，是否在同一直線(xiàn)上？請(qǐng)建立平面直角坐標(biāo)系加以判斷，并說(shuō)明理由．

②點(diǎn)的位置隨著動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置變化而變化，猜想關(guān)于所有點(diǎn)的位置的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，試用一句話(huà)表述：______．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）①點(diǎn)在直線(xiàn)上，即，，在同一條直線(xiàn)上；理由見(jiàn)解析；②點(diǎn)都在同一條線(xiàn)段（或直線(xiàn)）上．

【解析】

（1）①過(guò)點(diǎn)E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，則MN＝AB＝，由等邊三角形的性質(zhì)得出AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，E1M＝，即可得出答案；

②作P2M⊥AD于M，則P2M∥AB，設(shè)等邊△AP2E2的邊長(zhǎng)AE2為2x，由等邊三角形的性質(zhì)得出AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，由△P2MD∽△BAD，得出，進(jìn)而得出答案；

（2）過(guò)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出HM＝AD＝4，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出，即可得出答案；

（3）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線(xiàn)為x軸，AB所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由（1）（2）得：，，，由待定系數(shù)法求出過(guò)E1、E3的直線(xiàn)解析式，代入E2進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論；

②由①即可得出結(jié)論．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝8，過(guò)點(diǎn)E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，如圖1所示：

則MN＝AB＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝8，

∵△AP1E1是等邊三角形，

∴AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，

∴E1M＝，

∴E1N＝，即點(diǎn)到的距離是；

②作P2M⊥AD于M，如圖2所示，則P2M∥AB，

設(shè)等邊△AP2E2的邊長(zhǎng)AE2＝2x，

∴AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，

∵P2M∥AB，

∴△P2MD∽△BAD，

∴，即，

解得：x＝，

∴AE2＝2x＝；

故答案為：；

（2）過(guò)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，即，

∴；

（3）①以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由（1）①②（2）所求，得，，，

設(shè)經(jīng)過(guò)，的直線(xiàn)解析式為，

依題意，得，解得，

∴，

把代入一次函數(shù)解析式，得，

∴點(diǎn)在直線(xiàn)上，即，，在同一條直線(xiàn)上；

②用一句話(huà)表述：點(diǎn)都在同一條線(xiàn)段（或直線(xiàn)）上．