【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B,使AOB的面積等于6,求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)B,在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使POB=90°?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并求出POB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解:(1)函數(shù)的圖象與x軸相交于O,0=k+1,k=﹣1。

這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x。

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)B做BDx軸于點(diǎn)D,

令x2﹣3x=0,解得:x=0或3。AO=3。

∵△AOB的面積等于6,AOBD=6。BD=4。

點(diǎn)B在函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上,

4=x2﹣3x,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。

頂點(diǎn)坐標(biāo)為:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4,

x軸下方不存在B點(diǎn)

點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(4,4)。

(3)存在。

點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(4,4),∴∠BOD=45°,。

POB=90°,POD=45°。

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2﹣3x)。

,解得x=4 或x=0(舍去)。此時(shí)不存在點(diǎn)P(與點(diǎn)B重合)。

,解得x=2 或x=0(舍去)。

當(dāng)x=2時(shí),x2﹣3x=﹣2。

點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(2,﹣2)。

POB=90°,∴△POB的面積為: POBO=××=8。

解析(1)將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值,從而求得拋物線的解析式。

(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo),也就求出了OA的長(zhǎng),根據(jù)OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來(lái)判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可

(3)根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式,由于OBOP,由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).求POB的面積時(shí),求出OB,OP的長(zhǎng)度即可求出BOP的面積。

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