Question

如圖，在等腰直角Rt△ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為E．　
（1）試論證PE與BO的位置關(guān)系和大小關(guān)系．
（2）設(shè)AC=2，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）證明：∵O是等腰直角三角形ABC斜邊AC的中點，
∴OB⊥AC；∠OBC=∠ABC=45°，
又∵DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠PDB=∠C+∠DPE，
∴∠PDB=45°+∠DPE，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+45°=45°+∠DPE
∴∠PBO=∠DPE，
∵在△POB和△DEP中，
，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
故PE與BO的位置關(guān)系是PE⊥BO，大小關(guān)系是：PE=BO．

（2）解：∵O是等腰直角三角形ABC斜邊AC的中點
∴OB=AC，OB⊥AC，
∵AC=2，∴PE=OB=1，∵AP=x，∴CE=2-1-x=1-x，
∴S_△APB=x•1=x
∵DE⊥AC，∠C=45°，DE=CE=1-x，
∴S_△DEC=（1-x）²
∴S_{四邊形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC
∴y=×2×1-x-（1-x）²
∴y=-x²+x+．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出OB⊥AC，即可得出PE與BO的位置關(guān)系，再利用全等三角形的判定得出△POB≌△DEP（AAS），得出PE與BO的大小關(guān)系；
（2）利用S_{四邊形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC，分別求出各圖形面積，得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系即可．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知圖形正確分割出三角形是解題關(guān)鍵．