Question

如圖，在等腰直角Rt△ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為E．  
（1）試論證PE與BO的位置關系和大小關系．
（2）設AC=2，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出OB⊥AC，即可得出PE與BO的位置關系，再利用全等三角形的判定得出△POB≌△DEP（AAS），得出PE與BO的大小關系；
（2）利用S_{四邊形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC，分別求出各圖形面積，得出y與x之間的函數(shù)關系即可．

解答：（1）證明：∵O是等腰直角三角形ABC斜邊AC的中點，
∴OB⊥AC；∠OBC=

1

2

∠ABC=45°，
又∵DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠PDB=∠C+∠DPE，
∴∠PDB=45°+∠DPE，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+45°=45°+∠DPE
∴∠PBO=∠DPE，
∵在△POB和△DEP中，

∠POB=∠PED ∠OBP=∠EPD PB=PD

，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
故PE與BO的位置關系是PE⊥BO，大小關系是：PE=BO．                          

（2）解：∵O是等腰直角三角形ABC斜邊AC的中點
∴OB=

1

2

AC，OB⊥AC，
∵AC=2，∴PE=OB=1，∵AP=x，∴CE=2-1-x=1-x，
∴S_△APB=

1

2

x•1=

1

2

x          
∵DE⊥AC，∠C=45°，DE=CE=1-x，
∴S_△DEC=

1

2

（1-x）²
∴S_{四邊形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC
∴y=

1

2

×2×1-

1

2

x-

1

2

（1-x）²
∴y=-

1

2

x²+

1

2

x+

1

2

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知圖形正確分割出三角形是解題關鍵．