Question

已知：如圖1，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求證：BC=CD．
（2）若將原題中的已知條件“∠B和∠D都是直角”放寬為“∠B和∠D互為補(bǔ)角”，其余條件不變，如圖2，猜想：BC邊和鄰邊CD的長(zhǎng)度是否一定相等？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵∠D=∠B=90°，
∴CD⊥AD，CB⊥AB，
∵AC平分∠BAD，
∴BC=CD；

（2）解：一定相等．
證明：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，
∴∠CBF與∠ABC互補(bǔ)．
∵∠B和∠D都是直角，互為補(bǔ)角，
∴∠D=∠CBF，
又∵AC是∠BAD的平分線，
∴CE=CF，
在Rt△BCF與Rt△DCE中，，
∴Rt△BCF≌Rt△DCE（AAS），
∴BC=CD．
分析：（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得BC=CD；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，作CF⊥AB于F，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠D=∠CBF，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD=CF，然后利用“角角邊”證明△BCF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．