【題目】如圖1,已知矩形ABCD的寬AD=8,點E在邊AB上,P為線段DE上的一動點(點P與點D,E不重合),∠MPN=90°,M,N分別在直線AB,CD上,過點P作直線HK AB,作PF⊥AB,垂足為點F,過點N作NG⊥HK,垂足為點G
(1)求證:∠MPF=∠GPN
(2)在圖1中,將直角∠MPN繞點P順時針旋轉(zhuǎn),在這一過程中,試觀察、猜想:當MF=NG時,△MPN是什么特殊三角形?在圖2中用直尺畫出圖形,并證明你的猜想;
(3)在(2)的條件下,當∠EDC=30°時,設(shè)EP=x,△MPN的面積為S,求出S關(guān)于x的解析式,并說明S是否存在最小值?若存在,求出此時x的值和△MPN面積的最小值;若不存在,請說明理由。
【答案】
(1)證明:∵直線HK∥AB,PF⊥AB,
∴PF⊥HK,
∴∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°,
∴∠MPF=∠GPN;
(2)證明:
∵MF=NG,∠MFP=∠NGP=90°,
由(1)得∠MPF=∠GPN,
∴△MFP和△NGP中,
,
∴△MFP≌△△NGP,
∴MP=NP,則△MPN是等腰三角形;
(3)解:△MPN面積存在最小值,此時x=8,S的最小值是16.
∵∠EDG=30°,∠PEF=30°,EP=x,
∴PF= ,
根據(jù)題意得:PF+NG=8,
∴NG=8- ,
由(2)可得MF=NG=8- ,
在直角△PMF中,PF2+MF2=PM2,
則PM2=( )2+(8- )2= -8x+6,
∵△MPN的面積是S= PM2,
∴S= PM2= -4x+32= (x-8)2+16,
又∵0<x<16,
∴當x=8時,△MPN的面積S的最小值是16.
【解析】(1)矩形中含有直角,所以求角相等是可以考慮用互余關(guān)系∠MDF+∠MPG=∠MPG+∠GPM=90°,得到∠MPF=∠GPN;
(2)對于猜想題很容易由圖像猜到為等腰直角三角形,再由第一問得到的角相等∠MPF=∠GPN,易證△MFP≌△NGP得到MP=NP,則△MPN是等腰三角形。
(3)由30°所對的直角邊等于斜邊的一半,易得PF= ,再由等量代換可得MF=NG=8- ,再由勾股定理求得 PM2=( )2+(8- )2= -8x+6最終由二次函數(shù)頂點坐標得到最值。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過點E作EF⊥DE,交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的度數(shù);
(2)若CD=2,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖像 ,在下列四個結(jié)論中正確的是 .
①不等式ax2+bx+c>0的解集是-1<x<5;②a-b+c>0;③b2-4ac>0;④4a+b<0.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,用四個完全一樣的長、寬分別為x、y的長方形紙片圍成一個大正方形ABCD,中間是空的小正方形EFGH.若AB=a,EF=b,判斷以下關(guān)系式:① x + y=a;② x-y=b;③ a2-b2=2xy;④ x2-y2=ab;⑤ x2 + y2=,其中正確的有__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探索題:
根據(jù)前面的規(guī)律,回答下列問題:
(1)=__________;
(2)當x=4時,;
(3)求:的值。(請寫出解題過程);
(4)求:的值的個位數(shù)字。(只寫答案)。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,ΔABC中,P為AB上一點,在下列四個條件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=APAB;④ABCP=APCB,任選一個,使ΔAPC與ΔACB相似的條件可以是( )
A.①或②或③
B.①或③或④
C.②或③或④
D.①或②或④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖:在平面直角坐標系中,A(﹣1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)S△ABC= .
(2)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1(其中點A、B、C的對稱點分別為點A1、B1、C1).
(3)寫出點A1、B1、C1的坐標.A1 ,B1 ,C1 .
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