Question

如圖，直角坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C與點(diǎn)E在y軸上，且E為OC中點(diǎn)，BC∥x軸，且BE⊥AE，連接AB，
（1）求證：AE平分∠BAO；
（2）當(dāng)OE=6，BC=4時(shí)，求直線AB的解析式．

Answer 1

（1）證明：取AB的中點(diǎn)D，并連接ED
∵E為OC中點(diǎn)，
∴DE是梯形0ABC的中位線（梯形中位線的定義）
∴DE∥0A即∠DEA=∠EAO
∵BE⊥AE，ED是邊AB上的中線
∴ED=AD=AB，
∴∠DEA=∠DAE
∴∠EAO=∠DAE，即AE平分∠BAO

（2）解：設(shè)OA為x
∵OE=EC=6，
∴C（0，12），
∵CB=4，且BC∥x軸，
∴B（4，12）
∵ED=AB，
∴AB=2ED=x+4，
在Rt△EBC中，BE²=52，在Rt△OAE中，AE²=36+x²
∴在Rt△BEA中，52+36+x²=（x+4）²，
x=9，
∴A（9，0）
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則
解得，
∴直線AB的解析式為y=-x+．
分析：（1）作直角三角形ABE斜邊上的中線，可得DE是梯形的中位線，可得∠DEA=∠EAO，進(jìn)而根據(jù)ED是直角三角形斜邊上的中線，可得∠DEA=∠DAE，可得所證；
（2）易得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)△ABE為直角三角形，利用勾股定理求得OA的長(zhǎng)，也求得了點(diǎn)A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查梯形，一次函數(shù)及勾股定理相關(guān)知識(shí)；作梯形中位線是常用輔助性方法；得到在直線上的2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的難點(diǎn)．