Question

13．如圖，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接CD，BO．延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，DE．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AE=DE=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明CD是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠CDO=∠CBO=90°，由△COB≌△COD即可解決問(wèn)題．
（2）先證明∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30，在Rt△AEF中利用30度性質(zhì)以及勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵BC為圓O的切線(xiàn)，
∴∠CBD=90°．
∵AO平分∠BAD，
∴∠OAB=∠OBF．
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠ABO=∠OAF=∠ODA，
∴∠BOC=∠DOC，
在△COB和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠COB=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴BOC≌△DOC，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵AE=DE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴∠DAE=∠ABO，
∴∠BAO=∠OAD=∠ABO
∴∠BAO=∠OAD=∠DAE，
∵BE是直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∵AE=3，∠DAE=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，發(fā)現(xiàn)特殊角30°，屬于中考�？碱}型．