Question

1．如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在CB的延長線上，邊AB交邊C′D′于點(diǎn)E．
（1）求證：BC=BC′；
（2）若AB=2，BC=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、AC′，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，即AB⊥CC′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC′=AD′，AD=AD′，證得BC′=AD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=D′E，設(shè)AE=x，則D′E=2-x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)AC、AC′，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠ABC=90°，即AB⊥CC′，
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，
∴AC=AC′，
∴BC=BC′；

（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC′=90°，
∵BC=BC′，
∴BC′=AD′，
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，
∴AD=AD′，
∴BC′=AD′，
在△AD′E與△C′BE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠ABC′}\\{∠AED′=∠BEC′}\\{AD′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△AD′E≌△C′BE，
∴BE=D′E，
設(shè)AE=x，則D′E=2-x，
在Rt△AD′E中，∠D′=90°，
由勾股定理，得x²-（2-x）²=1，
解得x=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．