Question

3．已知：如圖所示，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件S_△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問(wèn)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．結(jié)合三角形的面積公式求出y=±1，將其代入拋物線解析式中求出x值，由此即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接MC，任取拋物線對(duì)稱軸上除M外的任意一點(diǎn)N，連接NA，NC、NC′，利用三角形兩邊之和大于第三邊得出點(diǎn)A、M、C′三點(diǎn)共線時(shí)，△MAC的周長(zhǎng)最�。�由拋物線的解析式找出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC′的解析式，再聯(lián)立直線AC′的解析式與拋物線的對(duì)稱軸成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
∵AB=2，S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB•|y|=1，
∴y=±1．
當(dāng)y=1時(shí)，有1=-x²+4x-3，即x²-4x+4=（x-2）²=0，
解得：x₁=x₂=2；
當(dāng)y=-1時(shí)，有-1=-x²+4x-3，即x²-4x+2=0，
解得：x₃=2-$\sqrt{2}$，x₄=2+$\sqrt{2}$．
∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1）．
（3）假設(shè)存在．
過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接MC，任取拋物線對(duì)稱軸上除M外的任意一點(diǎn)N，連接NA，NC、NC′，如圖所示．

∵NA+NC=NA+NC′＞AC′=MA+MC′=MA+MC，
∴當(dāng)點(diǎn)A、M、C′三點(diǎn)共線時(shí)，△MAC的周長(zhǎng)最�。�
∵拋物線的解析式為y=-x²+4x-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2，
∴C′（4，-3）．
設(shè)直線AC′的解析式為y=mx+n，
∵點(diǎn)A（1，0）、C′（4，-3）在直線AC′上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{4m+n=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為y=-x+1．
聯(lián)立直線AC′的解析式和拋物線的對(duì)稱軸成方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴直線AC′與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)為（2，-1），即M（2，-1），
∴存在點(diǎn)M（2，-1），可使△AMC的周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、解一元二次方程、對(duì)稱的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；（3）找出點(diǎn)M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．