Question

如圖，在正方形ABCD內(nèi)，已知兩個(gè)動(dòng)圓⊙O₁與⊙O₂互相外切，且⊙O₁與邊AB，AD相切，⊙O₂與邊BC，CD相切，若正方形的邊長(zhǎng)為1，⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r₁，r₂．
（1）求r₁和r₂的關(guān)系式；
（2）求⊙O₁與⊙O₂的面積之和的最小值．

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，AC=．
AO₁=r₁，CO₂=r₂，O₁O₂=r₁+r₂．
∵AC=AO₁+CO₂+O₁O₂，
∴r₁+r₂+r₁+r₂=．
∴r₁+r₂==．

（2）⊙O₁與⊙O₂的面積之和為：S=π（r₁²+r₂²）．
∴=r₁²+（2--r₁²）=2r₁²-2（2-）r₁+6-4．
配方得，=2（r₁-）²+3-2
∴當(dāng)r₁=時(shí)，⊙O₁與⊙O₂是等圓，
其面積最小值為S=π（r₁²+r₂²）=（）π．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC，AO₁，CO₂，O₁O₂，從而得出r₁和r₂的關(guān)系式；
（2）可得出）⊙O₁與⊙O₂的面積之和，用配方法直接得出=2（r₁-）²+3-2，從而得出面積的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了相切兩圓的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，是中檔題，難度偏大．