Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），以AB中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P交y軸正半軸于C點(diǎn)
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式．
（2）M為（1）中拋物線頂點(diǎn)，求直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式．
（3）試說明MC與⊙P的位置關(guān)系，并說明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半徑是PC=PB=PA=，
∴OP=-1=，
在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，
∴C（0，2），
設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-，
∴y=-（x-4）（x+1）=-x²+x+2，
答：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=-x²+x+2．

（2）y=-x²+x+2=-+，
M（，），
設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，
把C（0，2），M（，）代入得：，
解得：k=，b=2，
∴y=x+2，
y=x+2．
答：直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=x+2．

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切，
證明：設(shè)直線MC交X軸于D，
當(dāng)y=0時，0=x+2，
∴x=-，OD=，
∴D（-，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+==，
PC²===，
PD²==，
∴CD²+PC²=PD²，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC為半徑，
∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．
分析：（1）求出半徑，根據(jù)勾股定理求出C的坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．