Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作⊙P．

（1）當(dāng)BP＝　 　時(shí)，△MBP～△DCP；

（2）當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，求BP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)⊙P的半徑為x，請(qǐng)直接寫出正方形ABCD中恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3或；（3）

【解析】

（1）設(shè)BP=a，則PC=8-a，由△MBP～△DCP知，代入計(jì)算可得；

（2）分別求出⊙P與邊CD相切時(shí)和⊙P與邊AD相切時(shí)BP的長(zhǎng)即可得；

（3）①當(dāng)PM=5時(shí)，⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，點(diǎn)C；②當(dāng)⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)D時(shí)，由PC2+DC2=BM2+PB2，可求得BP=7，繼而知．據(jù)此可得答案．

（1）設(shè)BP=a，則PC=8-a，

∵AB=8，M是AB中點(diǎn)，

∴AM=BM=4，

∵△MBP～△DCP，

∴，即，

解得，

故答案為：．

（2）如圖1，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，

設(shè)PC=PM=x，

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如圖2，當(dāng)⊙P與邊AD相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，

則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，．

綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或．

（3）如圖1，當(dāng)PM=5時(shí)，⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，點(diǎn)C；

如圖3，當(dāng)⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)D時(shí)，

∵PC2+DC2=BM2+PB2，

∴42+BP2=（8-BP）2+82，

∴BP=7，

∴．

綜上，．