Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過B（1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點A．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并求出頂點坐標(biāo)D．
（2）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜3）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍．
（3）若P為對稱軸x=-1上的一個動點．
①是否存在這樣的點P，使得∠APC=90°？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
②設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M，動點P從點M出發(fā)，第1秒以每秒1個單位的速度向上運動，第2秒以每秒2個單位的速度向下運動，第3秒以每秒3個單位的速度向上運動，按此規(guī)律一直運動下去…設(shè)運動時間為t（秒），試求出：在點P的運動過程中，當(dāng)△BCP的周長前3次取得最小值時，相應(yīng)的t的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜3確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．
（3）①設(shè)P（-1，n），則PM=n，CE=3+n，AM=2，PE=1，根據(jù)△APM∽△CPE對應(yīng)邊成比例則

PM

PE

=

AM

CE

即可求得；
②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，先確定出P點，然后求得P的坐標(biāo)，根據(jù)題意即可確定t的值．

解答：解（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過B（1，0）、C（0，-3）兩點，
∴

- b 2a =-1 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

．
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．


（2）∵拋物線的解析式為：y=x²+2x-3，
令y=0，則x²+2x-3=0，解得：x=1，x=-3，
∴A（-3，0），
如圖2，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A（-3，0）時-3+b=0，可得b=3，又因為b＜3，
故可知y=x+b在y=x+3的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點B（1，0）時，1+b=0，則b=-1，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-1＜b＜3時，直線y=x+b（b＜3）與此圖象有兩個公共點．


（3）①如圖3，設(shè)P（-1，n），∵OA=3，OC=3，OM=1，
∴PM=n，CE=3+n，AM=2，PE=1，
∵△APM∽△CPE，
∴

PM

PE

=

AM

CE

，
∴

n

1

=

2

n+3

，
解得：n=

-3+ 17

2

，n=

-3- 17

2

，
∴P（-1，

-3+ 17

2

）或P（-1，

-3- 17

2

）；

②如圖4，∵對稱軸為x=-1，C（0，-3），
∴C的對稱點C′（-2，-3），
設(shè)直線BC′的解析式為：y=kx+b，∵B（1，0）、C′（-2，-3），
∴

k+b=0 -2k+b=-3

，
解得

k=1 b=-1

．
∴直線BC′的解析式為：y=x-1，
把x=-1代入得：y=-2，
∴P（-1，-2），
第一次取得最小值是第4秒，
之后第6秒內(nèi)會第二次經(jīng)過P點，即5+

5

6

=

35

6

，
之后第7秒內(nèi)會第三次經(jīng)過P點，即6+

1

7

=

43

7

，
∴根據(jù)題意，當(dāng)△BCP的周長前3次取得最小值時的t的值為：4、

35

6

、

43

7

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及根據(jù)三角形相似求點的坐標(biāo)和直線與圖象的交點問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．