Question

如圖，正方形ABCD中，P在對角線BD上，E在CB的延長線上，且PE=PC，過點P作PF⊥AE于F，直線PF分別交AB、CD于G、H，
（1）求證：DH=AG+BE；
（2）若BE=1，AB=3，求PE的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：壓軸題

分析：（1）在DC上截取DM=BE，連接AM，證△ABE≌△ADM，推出∠1=∠2，推出AM⊥AE，推出AM∥FH，AB∥CD，得出四邊形AGHM是平行四邊形，推出AG=MH即可；
（2）連接AP．根據(jù)四邊形ABCD是正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，證△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．

解答：（1）證明：在DC上截取DM=BE，連接AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，
∵在△ABE和△ADM中

AD=AB ∠ADM=∠ABE DM=BE

，
∴△ABE≌ADM，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，即AM⊥AE．
又∵PF⊥AE于F，
∴AM∥FH，
又∵AB∥CD，
∴四邊形AGHM是平行四邊形，
∴AG=MH，
∵DH=DM+MH，
∴DH=AG+BE．
     
（2）解：連接AP．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
∵在△ABP和△CBP中

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠3=∠4，
∵PE=PC，
∴PA=PE，
∵PE=PC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
又∵∠ANP=∠ENB，
∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
∵BE=1，AB=3，
∴AE=

12+32

=

10

，
∴PE=

AE

2

=

10

2

=

5

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．