Question

已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC.

（1）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖1）.

①設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b<a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；

②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長(zhǎng).

（2）如圖2，若PA²+PC²=2PB²，請(qǐng)說明點(diǎn)P必在對(duì)角線AC上.

 

Answer 1

【答案】

（1）①S_陰影=

②連結(jié)PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而PC=6;

（2）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，

（3）再證∠BPC+∠APB=180°，即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上.

【解析】（1）△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積實(shí)際是大扇形OAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個(gè)扇形的圓心角同為90度；

（2）連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；

（3）將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點(diǎn)P在對(duì)角線AC上．