【題目】如圖,直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,過點(diǎn)B的拋物線y=-x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D(3,-4).
(1)求直線BD和拋物線的解析式;
(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上,是否存在一點(diǎn)M,作MN垂直于x軸,垂足為點(diǎn)N,使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在直線BD上方的拋物線上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PH垂直于x軸,交直線BD于點(diǎn)H,當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時,試求動點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)直線BD的解析式為:y=-2x+2;y=-x2+x+2;(2)(1,2),(,);(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)或(2,0).
【解析】
試題分析:(1)由直線y=2x+2可以求出A,B的坐標(biāo),由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式;
(2)如圖1,2,由(1)的解析式設(shè)M(a,-a2+a+2),當(dāng)△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時,由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論;
(3)設(shè)P(b,-b2+b+2),H(b,-2b+2).由平行四邊形的性質(zhì)建立方程求出b的值就可以求出結(jié)論.
試題解析:(1)∵y=2x+2,
∴當(dāng)x=0時,y=2,
∴B(0,2).
當(dāng)y=0時,x=-1,
∴A(-1,0).
∵拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)B(0,2),D(3,-4),
∴
解得:,
∴y=-x2+x+2;
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得:,
∴直線BD的解析式為:y=-2x+2;
(2)存在.
如圖1,
設(shè)M(a,-a2+a+2).
∵M(jìn)N垂直于x軸,
∴MN=-a2+a+2,ON=a.
∵y=-2x+2,
∴y=0時,x=1,
∴C(1,0),
∴OC=1.
∵B(0,2),
∴OB=2.
當(dāng)△BOC∽△MNO時,
∴,
∴,
解得:a1=1,a2=-2(舍去)
∴M(1,2);
如圖2,
當(dāng)△BOC∽△ONM時,
,
∴,
∴a=或(舍去),
∴M(,).
∴符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),(,);
(3)設(shè)P(b,-b2+b+2),H(b,-2b+2).
如圖3,
∵四邊形BOHP是平行四邊形,
∴BO=PH=2.
∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b.
∴2=-b2+3b
∴b1=1,b2=2.
當(dāng)b=1時,P(1,2),
當(dāng)b=2時,P(2,0)
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)或(2,0).
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【題目】如圖1,點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長線上一點(diǎn).
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度數(shù);
(2)若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P.
求證: ;
(3)在(2)的條件下,將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC,∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q(如圖2),試探究∠BQC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請寫出你的猜想并證明.
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【題目】已知│a│= 8,│b│= 2.
(1)當(dāng)a、b同號時,求a+b的值;
(2)當(dāng)a、b異號時,求a+b的值.
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