Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，0），且與直線l：y=x+m交y軸于同一點B（0，1），與直線l交于另一點A，D為拋物線的對稱軸與直線l的交點，P為線段AB上的一動點（不與點A、B重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點E．
（1）求拋物線和直線l的函數(shù)解析式，及另一交點A的坐標；
（2）求△ABE的最大面積是多少？
（3）問是否存在這樣的點P，使四邊形PECD為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，0），可設此拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，然后由待定系數(shù)法即可求得拋物線和直線l的函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩個解析式，即可求得另一交點A的坐標；
（2）首先過點E作EG⊥y軸于點G，過點A作AF⊥EG于點F，然后設E（x，x²-2x+1），由S_△ABE=S_梯形ABGF-S_△BEG-S_△AEF，利用二次函數(shù)的性質，即可求得△ABE的最大面積；
（3）由平行四邊形的判定，可得當PE=CD時，四邊形PECD為平行四邊形，然后設P（x，x+1），則點E（x，x²-2x+1），即可得PE=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x=2，繼而可求得點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，0），
∴設此拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
∵點B（0，1）在此拋物線上，
∴a=1，
∴此拋物線的解析式為：y=（x-1）²=x²-2x+1；
∵直線l：y=x+m交y軸于點B（0，1），
∴1=0+m，
解得：m=1，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=x+1；
聯(lián)立得：

y=x2-2x+1 y=x+1

，
解得：

x=3 y=4

或

x=0 y=1

，
故點A的坐標為：（3，4）；

（2）過點E作EG⊥y軸于點G，過點A作AF⊥EG于點F，
設E（x，x²-2x+1），
∴EG=x，EF=3-x，BG=1-（x²-2x+1）=-x²+2x，AF=4-（x²-2x+1）=-x²+2x+3，GF=3，
∴S_△ABE=S_梯形ABGF-S_△BEG-S_△AEF=

1

2

（BG+AF）•GF-

1

2

BG•EG-

1

2

EF•AF
=

1

2

×[（-x²+2x）+（-x²+2x+3）]×3-

1

2

×（-x²+2x）×x-

1

2

×（3-x）×（-x²+2x+3）
=-

-3x2+9x

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴當x=

3

2

時，S_△ABE的最大值為：

27

8

，
∴△ABE的最大面積是

27

8

；

（3）存在．
∵PE∥y軸，CD∥y軸，
∴PE∥CD，
∴當PE=CD時，四邊形PECD為平行四邊形，
∵點D在直線y=x+1上，且點D的橫坐標為1，
∴點D（1，2），
∴CD=2，
設P（x，x+1），則點E（x，x²-2x+1），
∴PE=（x+1）-（x²-2x+1）=-x²+3x=2，
即x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
故點P的坐標為：（2，3）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)的最值問題以及平行四邊形的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用．