Question

【題目】操作探究

如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α＝0°時(shí)，＝　 　；②當(dāng)α＝180°時(shí)，＝　 　．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①，②（2）當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化（3）BD的長(zhǎng)為或

【解析】

（1）①當(dāng)α＝0°時(shí)，則點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，得DE∥BA，進(jìn)而即可得到答案；②當(dāng)α＝180°時(shí)，則點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的延長(zhǎng)線上，且DE∥BA，由，即可得到答案；

（2）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)， ②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)， 結(jié)合＝，分別求出答案，即可．

（1）①∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，

∴，

當(dāng)α＝0°時(shí)，則點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE∥BA，

∴，即：，

故答案是：；

②當(dāng)α＝180°時(shí)，則點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的延長(zhǎng)線上，且DE∥BA，

∴=，

∴ ．

故答案是：；

（2）如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，理由如下：

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，即：CD=1，CE=，

∴==，

∴△ECA∽△DCB，

∴==；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，

∴BE＝＝＝1，

∴AE＝AB+BE＝5，

∵＝，

∴BD＝＝．

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如圖4，

∵BC=2，CE=，∠ABC=90°，

∴BE＝1，AE＝4﹣1＝3，

∵＝，

∴BD＝．

綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為或．