Question

20．如圖，△ABC中，∠A=30°，AB=AC，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E
（1）求∠ABD的度數(shù)；
（2）當(dāng)BC=$\sqrt{2}$時(shí)，求線段AE，AD與$\widehat{DE}$圍成陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC、∠BCD的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠ABD的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB與F，在RT△BDF中和RT△BDF中分別求出DF、BF、AF的長，即可知AB的長，最后根據(jù)S_陰影=S_△ABD-S_扇形BDE列式可求得．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB與F，

在RT△BDF中，∠FBD=45°，BD=BC=$\sqrt{2}$，
∴BF=DF=BDsin45°=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
在RT△BDF中，∠A=30°，
∴AD=2DF=2，AF=$\sqrt{3}$，
∴AB=AF+BF=$\sqrt{3}$+1，
∴S_陰影=S_△ABD-S_扇形BDE
=$\frac{1}{2}$AB•DF-$\frac{45}{360}•π•（\sqrt{2}）^{2}$
=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和扇形面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的突破點(diǎn)是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC=30°，然后利用割補(bǔ)法可求陰影部分面積．