Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，點D的坐標為　 ．

（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；

（4）若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）（，﹣5）；（3）點E坐標為（，﹣）時，△BCE面積最大，最大值為；（4）存在點N，點N坐標為（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）用待定系數法求解；

（2）當點B、D、C在同一直線上時，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最�。磺蟪鲋本�BC：y＝2x﹣6，可進一步求解；

（3）過點E作EG⊥x軸于點G，交直線BC與點F，設E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），則F（t，2t﹣6），得EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝﹣（t﹣）2+，可得結果；

（4）存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形．可分情況若AC為菱形的邊長，MN∥AC且，MN＝AC＝2；若AC為菱形的對角線，則AN4∥CM4，AN4＝CN4，N4（﹣2，n），由勾股定理可求n.

（1）∵OA＝2，OC＝6

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）

∵拋物線y＝x2+bx+c過點A、C

∴

解得：

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣6

（2）∵當y＝0時，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3

∴B（3，0），拋物線對稱軸為直線x＝

∵點D在直線x＝上，點A、B關于直線x＝對稱

∴xD＝，AD＝BD

∴當點B、D、C在同一直線上時，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小

設直線BC解析式為y＝kx﹣6

∴3k﹣6＝0，解得：k＝2

∴直線BC：y＝2x﹣6

∴yD＝2×﹣6＝﹣5

∴D（，﹣5）

故答案為：（，﹣5）

（3）過點E作EG⊥x軸于點G，交直線BC與點F

設E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），則F（t，2t﹣6）

∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t

∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EFBG+EFOG＝EF（BG+OG）＝EFOB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+

∴當t＝時，△BCE面積最大

∴yE＝（）2﹣﹣6＝﹣

∴點E坐標為（，﹣）時，△BCE面積最大，最大值為．

（4）存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形．

∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）

∴AC＝

①若AC為菱形的邊長，如圖3，

則MN∥AC且，MN＝AC＝2

∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）

②若AC為菱形的對角線，如圖4，則AN4∥CM4，AN4＝CN4

設N4（﹣2，n）

∴﹣n＝

解得：n＝﹣

∴N4（﹣2，﹣）

綜上所述，點N坐標為（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．