Question

設(shè)n為自然數(shù)，試求一個(gè)二次方程，它的兩個(gè)解是二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分（所謂一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，是指不超過此實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：計(jì)算題

分析：先求出二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，根據(jù)n為自然數(shù)，再分四種情況分別求出兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分，即可得出二次方程．

解答：解：∵二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解是x=

-2(n+1)± [2(n+1)]2-4×(6n-5)

2

=-（n+1）±

(n-2)2+2

，
又∵n為自然數(shù)，
∴（1）當(dāng)n=0時(shí)，x=-1±

6

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分是-3和1，新方程為：（x+3）（x-1）=0；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，x=-2±

3

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分是3和0，新方程為：（x-3）x=0；
（3）當(dāng)n=2時(shí)，x=-3±

2

，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分是-4和1，新方程為：（x+4）（x-1）=0；
（4）當(dāng)n≥3時(shí)，二次方程x²+2（n+1）x+6n-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解的整數(shù)部分是-n+1和n-3，新方程為：（x+n-1）（x-n+3）=0；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理數(shù)，解答此題時(shí)需要注意分類討論，關(guān)鍵是求出實(shí)數(shù)解得整數(shù)部分．