Question

15．已知二次函數(shù)y=x²+（m-3）x+1-2m．求證：
（1）此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m取不同的值時(shí)，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用根的判別式，可得結(jié)論；
（2）首先分離出m，令m的系數(shù)為0，求出x，再求出y，也就是說這個(gè)定點(diǎn)與m的值無關(guān)．

解答 證明：（1）b²-4ac=（m-3）²-4（1-2m）=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，∴（m+1）²+4＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）y=x²+（m-3）x+1-2m=x²+（x-2）m-3x+1，
∵當(dāng)m取不同的值時(shí)，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，
∴這個(gè)定點(diǎn)與m的值無關(guān)，
∴x-2=0，
解得：x=2，
∴y=2²-3×2+1=-1，
∴當(dāng)m取不同的值時(shí)，這些二次函數(shù)的圖象都會經(jīng)過（2，-1）．

點(diǎn)評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟記二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系，△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．