Question

（本小題滿分14分）
如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點E是AB的中點，點F在邊CB的延長線上，且BE=BF，連接EF．

【小題1】（1）若取AE的中點P，求證：BP=CF；
【小題2】（2）在圖①中，若將繞點B順時針方向旋轉（0⁰<<360⁰），如圖②，是否存在某位置，使得？，若存在，求出所有可能的旋轉角的大小；若不存在，請說明理由；
【小題3】（3）在圖①中，若將△BEF繞點B順時針旋轉（0⁰<<90⁰），如圖③，取AE的中點P，連接BP、CF，求證：BP=CF且BP⊥CF．

Answer 1

【小題1】解：（1）∵ AE = BE，AP = EP
∴ BE = 2PE，AB = 4PE，BP = 3PE…………（1分）
∵ AB = BC，BE =" BF     " ∴ BC = 4PE，BF = 2PE
∴ CF = 6PE…………（2分）       ∴
【小題2】（2）存在…………（４分）
因為將繞點B順時針方向旋轉一周，E、F分別在以點B為圓心，BE為半徑的圓周上，如圖1，因此過Ａ點做圓Ｂ的切線，設切點是點Ｅ，此時，有AE∥BF。
當圓Ｂ的切線ＡＥ在ＡＢ的右側時，如圖1
∵ AE∥BF∴∠AEB = ∠EBF = 90°     ∵ BE = AB∴∠BAE = 30°
∴∠ABE = 60°，即旋轉角是60°…………（6分）
當圓Ｂ的切線ＡＥ在ＡＢ的左側時，如圖2
如圖2，∵ AE∥BF
∴∠AEB + ∠EBF = 180°∴∠AEB = 90°
∵ BE = AB     ∴∠BAE = 30°
∴∠ABE = 60°，即旋轉角是300°
【小題3】（3）延長BP到點G，使BP=PG，連結AG
∴△APG ≌△BPE
∴ AG = BE，PG = BP，∠G = ∠PBE
∵ BE = BF　　　∴ AG = BF
∵△BEF繞點B順時針旋轉  ∴∠ABE = ，∠CBF = 180°－
∵∠G = ∠PBE　　　　∴∠G + ∠ABP =
∴∠GAB = 180°－　　　∴∠GAB = ∠CBF
又∵ AB = BC，AG = BF
∴△GAB ≌△FBC　　　　∴ BG = CF
∵　　　　∴…………（11分）
延長PB，與CF相交于點H
∵△GAB ≌△FBC　　　　∴∠ABP = ∠BCH
∵∠ABP + ∠CBH = 90°　　　∴∠BCH + ∠CBH =90°
∴ BH⊥CF　　　　即 BP⊥CF…………（14分）

解析