Question

已知：如圖，⊙P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A(0，2)是⊙P與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B(－2，0)在x軸上．連結(jié)BP交⊙P于點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長交x軸于點(diǎn)D．

(1)求線段BC的長；

(2)求直線AC的關(guān)系式；

(3)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，得OP＝1，BO＝2，CP＝1 　　在Rt△BOP中， 　　∵BP2＝OP2＋BO2，∴(BC＋1)2＝12＋(2)2， 　　∴BC＝2; 　　(2)過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F， 　　在△PBO中，∵CF∥BO，∴， 　　即，解得CF＝． 　　同理可求得CE＝． 　　因此C(－，)，設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)， 　　把A(0，2)，C(－，)兩點(diǎn)代入關(guān)系式，得 　　，解得 　　∴所求函數(shù)關(guān)系式為y＝x＋2; 　　(3)在x軸上存在點(diǎn)B，使△BOP與△AOD相似． 　　∵∠OPB＞∠OAD，∴∠OPB≠∠OAB 　　故若要△BOP與△AOD相似， 　　則∠OBP＝∠OAD．又∠OPB＝2∠OAD， 　　∴∠OPB＝2∠OBP 　　∵∠OPB＋∠OBP＝90°，∴3∠OBP＝90°， 　　∴∠OBP＝30°． 　　因此OB＝cot30°·OP＝ 　　∴B1點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)， 　　根據(jù)對(duì)稱性可求得符合條件的B2坐標(biāo)(，0)． 　　綜上，符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)有兩個(gè)：B1(－，0)．B2(，0)．