Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（2，0），對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)為P

（1）求該拋物線的解析式，寫出其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出大致的圖象；
（2）如圖②，將此拋物線向右平移m個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位（m＞O）．平移后的拋物線與直線y=1相交于M、N兩點(diǎn)，若2≤MN≤4．求m的取值范圍；
（3）如圖③，若此拋物線在（2）的平移方式下，新拋物線的頂點(diǎn)為B點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C．若∠OBC=45°，試求m的值．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：
∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（2，0），對(duì)稱軸為y軸為y軸，
∴b=0，
∴0=-4+c，
解得：c=4，
∴y=-x²+4，
P（0，4）；

（2）∵將此拋物線向右平移m個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位（m＞O），平移后的拋物線與直線y=1相交于M、N兩點(diǎn)，
∴平移后解析式為：y=-（x-m）²+4-m，
當(dāng)y=1時(shí)，x=m±，
∴MN=2，則2≤2≤4，
解得：-1≤m≤2，
∵m＞0，
∴0＜m≤2；

（3）分類討論如下：
①∵拋物線先向右平移m個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位m個(gè)單位（m＞0），
∴B（m，4-m），
y=-（x-m）²+4-m，
∴C（0，-m²-m+4），
可得∠OPB=45°，∵∠OBC=45°，
∠BOC=∠BOP，
∴△OCB∽△OBP；
如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在y軸正半軸上時(shí)，即-m²-m+4＞0時(shí)，
BO²=OC•OP，
∵BO²=2m²-8m+16，
OC=-m²-m+4，
OP=4，
∴2m²-8m+16=4×（-m²-m+4），
解得：m₁=0（不合題意舍去），m₂=；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，
即-m²-m+4＜0時(shí)，BO²=OC•OP，
∵BC²=m²+m⁴，OC=m²+m-4，CP=m²+m，
解得：m₃=0，m₄=1+，m₅=1-（負(fù)根舍去），
∴m=1+，
綜上所述，m=或m=1+．
分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸（x=0）代入拋物線y=-x²+bx+c就可求出表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)平移規(guī)律（上加下減右減左加），即可求出新拋物線的解析式，進(jìn)而得出MN的長度求出m的取值范圍即可；
（3）先證明兩三角形相似，再利用相似三角形的邊之比相等，即可求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，能應(yīng)用平移規(guī)律求解析式，關(guān)鍵是把二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化成相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)來解決．