Question

8．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D在劣弧$\widehat{AC}$上，∠ABD=45°．
（1）如圖1，BD交AC于E，連CD，若AB=BD，求證：CD=$\sqrt{2}$DE；
（2）如圖2，連AD，CD，已知sin∠BDC=$\frac{12}{13}$，求tan∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC，AB=BD得AC=BD，利用圓周角定理得到弧相等，∠ACD=∠ABD=45°，△EDC為等腰直角三角形，得證；
（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用邊角關(guān)系與已知條件，得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AB=BD，
∴AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠BDC=∠ABD=45°，
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴△EDC為等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE；

（2）解：作DG⊥AC于G，作ON⊥AC于N，延長(zhǎng)AO交BC于M，
∵sin∠BDC=sin∠MOC=$\frac{CM}{OC}$=$\frac{12}{13}$，
設(shè)CM=12，OC=OA=13，則AM=18，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=6$\sqrt{13}$，
∵∠ABD=45°，
∴∠ACD=45°，∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AO=13$\sqrt{2}$，CG=DG，
∴（AC-DG）²+DG²=AD²，
∴DG=$\sqrt{13}$，AG=5$\sqrt{13}$，
∵∠CBD=∠CAD，
∴tan∠CBD=tan∠CAD=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理和解直角三角形，熟練運(yùn)用圓周角定理，構(gòu)建直角三角形是解此題的關(guān)鍵．