【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,且BC為⊙O的直徑,在劣弧上取一點(diǎn)D,使,將△ADC沿AD對折,得到△ADE,連接CE.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若CEC D,劣弧的弧長為π,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2)圓的半徑為3.
【解析】
(1)在△ACE中,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,則2α+2β+2γ=180°,即可求解;
(2)證明四邊形AMCN為矩形,,而AB=x,則
sin∠ABM=,即∠ABM=60°,即可求解.
(1)∵,∴∠CAD=∠BCA=α=∠EAD,
設(shè):∠DCA=∠DEA=β,∠DCE=∠DEC=γ,
則△ACE中,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,
∴2α+2β+2γ=180°,
∴α+β+γ=90°,
∴CE是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC,延長AD交CE于點(diǎn)N,
則DN⊥CE,∴四邊形AMCN為矩形,
設(shè):AB=CD=x,則CEx,
則CNCEx=AM,而AB=x,
則sin∠ABM,∴∠ABM=60°,
∴△OAB為等邊三角形,即∠AOB=60°,
2πr=π,
解得:r=3,
故圓的半徑為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校開展了主題為“垃圾分類,綠色生活新時(shí)尚”的宣傳活動(dòng),為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況,該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、待合格四個(gè)等級進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖.
等級 | 頻數(shù) | 頻率 |
優(yōu)秀 | 21 | 42% |
良好 | m | 40% |
合格 | 6 | n% |
待合格 | 3 | 6% |
請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查隨機(jī)抽取了 名學(xué)生;表中m= ,n= ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若全校有2000名學(xué)生,請你估計(jì)該校掌握垃圾分類知識達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”等級的學(xué)生共有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖⊙O的半徑為1,過點(diǎn)A(2,0)的直線切⊙O于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.
(1)求線段AB的長;
(2)求以直線AC為圖象的一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓內(nèi)接四邊形ABDC,AB是⊙O的直徑,OD⊥BC于E.
(1)求證:∠BCD=∠CBD;
(2)若BE=4,AC=6,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)D為OC上一點(diǎn),過D作直線DE⊥OA,垂足為點(diǎn)E,且直線DE交OB于點(diǎn)F,如圖所示.若DE=2,則DF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y(b≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù):如圖(1)在線段AB上找一點(diǎn)C,C把AB分為AC和BC兩條線段,其中AC>BC.若AC,BC,AB滿足關(guān)系AC2=BCAB.則點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),這時(shí)=≈0.618,人們把叫做黃金分割數(shù),我們可以根據(jù)圖(2)所示操作方法我到線段AB的黃金分割點(diǎn),操作步驟和部分證明過程如下:
第一步,以AB為邊作正方形ABCD.
第二步,以AD為直徑作⊙F.
第三步,連接BF與⊙F交于點(diǎn)G.
第四步,連接DG并延長與AB交于點(diǎn)E,則E就是線段AB的黃金分割點(diǎn).
證明:連接AG并延長,與BC交于點(diǎn)M.
∵AD為⊙F的直徑,
∴∠AGD=90°,
∵F為AD的中點(diǎn),
∴DF=FG=AF,
∴∠3=∠4,∠5=∠6,
∵∠2+∠5=90°,∠5+∠4=90°,
∴∠2=∠4=∠3=∠1,
∵∠EBG=∠GBA,
∴△EBG∽△GBA,
∴=,
∴BG2=BEAB…
任務(wù):
(1)請根據(jù)上面操作步驟與部分證明過程,將剩余的證明過程補(bǔ)充完整;(提示:證明BM=BG=AE)
(2)優(yōu)選法是一種具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)方法,優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù).為優(yōu)選法的普及作出重要貢獻(xiàn)的我國數(shù)學(xué)家是 (填出下列選項(xiàng)的字母代號)
A.華羅庚
B.陳景潤
C.蘇步青
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一菱形紙片ABCD,∠A=60°,將該菱形紙片折疊,使點(diǎn)A恰好與CD的中點(diǎn)E重合,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上,聯(lián)結(jié)EF,那么cos∠EFB的值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開展了“文明城市”活動(dòng)周,活動(dòng)周設(shè)置了“:文明禮儀,:生態(tài)環(huán)境,:交通安全,:衛(wèi)生保潔”四個(gè)主題活動(dòng),每個(gè)學(xué)生限選一個(gè)主題參與,為了解活動(dòng)開展情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是_______人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“”主題對應(yīng)扇形的圓心角為________度.
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