Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t（s）．
（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形？
（2）當(dāng)P在AB上運動時，t為何值時，直線PQ與以AD為直徑的圓相切？
（3）如圖2，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形APQDA為矩形，也就是AP=DQ，分別用含t的代數(shù)式表示，解即可；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理得出（20-5t）²+4²=（20+3t） ²，進而求出即可；
（3）主要考慮有四種情況，一種是P在AB上；一種是P在BC上時．一種是P在CD上時，又分為兩種情況，一種是P在Q右側(cè)，一種是P在Q左側(cè)．并根據(jù)每一種情況，找出相等關(guān)系，解即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)AP=DQ時，四邊形APQD為矩形．
此時，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t為4s時，四邊形APQD為矩形；

（2）如圖所示：
當(dāng)PQ切圓于點E，過點Q作QF⊥AB于點F，
則AP=PE=4t，DQ=EQ=20-t，QF=AD=4，PF=DQ-AP=20-t-4t=20-5t，
PQ=DQ+PE=20-t+4t=20+3t，
∵PF²+QF²=PQ ²，
∴（20-5t）²+4²=（20+3t） ²，
解得：t=10+3（舍去）或t=10-3
t為10-3秒時，直線PQ與以AD為直徑的圓相切；
（3）當(dāng)PQ=4時，⊙P與⊙Q外切．
①如果點P在AB上運動．如圖3
只有當(dāng)四邊形APQD為矩形時，PQ=4．
由（1），得t=4（s）；
②如果點P在BC上運動，圖右圖．
此時t≥5，則CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，
∴⊙P與⊙Q外離；
③如果點P在CD上運動，且點P在點Q的右側(cè)，如右圖．
可得CQ=t，CP=4t-24．當(dāng)CQ-CP=4時，⊙P與⊙Q外切．
此時，t-（4t-24）=4，
解得 t=（s）；
④如果點P在CD上運動，且點P在點Q的左側(cè)，如右圖．
當(dāng)CP-CQ=4時，⊙P與⊙Q外切．
此時，4t-24-t=4，
解得 t=（s），
∵點P從A開始沿折線A-B-C-D移動到D需要11s，
點Q從C開始沿CD邊移動到D需要20s，
而 ＜11，
∴當(dāng)t為4s，s，s時，
⊙P與⊙Q外切．
點評：本題主要考查了兩圓外切，要注意兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，大于的話就說明外離，小于的話就說明相交；還有要注意求出的t的值不能超過兩點運動到D點的最小值，否則就不存在．