Question

13．小杰同學(xué)研究?jī)善叫芯�被第三條直線所截構(gòu)成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的角平分線的位置關(guān)系發(fā)現(xiàn)了一些比較特殊，你也有同樣的發(fā)現(xiàn)嗎？
（1）兩平行線被第三條直線所截，同位角角平分線平行，內(nèi)錯(cuò)角角平分線平行，同旁內(nèi)角角平分線垂直，鄰補(bǔ)角角平分線垂直，對(duì)頂角角平分線共線．
（2）如圖：直線AB∥直線CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)M、N，MP平分∠AMN，NQ平分∠MND，則MP∥NQ，試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）若兩條平行線被第三條直線所截，則同位角相等，則同位角的平分線與第三條直線組成的角相等，所以同位角的平分線互相平行，同理內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行，因?yàn)閮芍本�平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以同旁內(nèi)角的平分線互相垂直；
（2）由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AMN=∠MND，再根據(jù)角平分線的定義得到∠NMP=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNQ=$\frac{1}{2}$∠MND，則∠NMP=∠MNQ，然后根據(jù)平行線的判定即可得到MP∥NQ．

解答 解：（1）兩平行線被第三條直線所截，同位角角平分線平行，內(nèi)錯(cuò)角角平分線平行，同旁內(nèi)角角平分線垂直，鄰補(bǔ)角角平分線垂直，對(duì)頂角角平分線共線，
故答案為：平行，平行，垂直，垂直，共線；

（2）∵AB∥CD，
∴∠AMN=∠MND，
∵M(jìn)P平分∠AMN，NQ平分∠MND，
∴∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNQ=$\frac{1}{2}$∠MND，
∴∠PMN=∠MNQ，
∴MP∥NQ．
故答案為：∥．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行線的判定定理即平行線的判定定理一兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行（簡(jiǎn)記為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．平行線的判定定理二兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行（簡(jiǎn)記為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．