Question

如圖所示，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx＋b與拋物線交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＜0）．

⑴求b的值．

⑵求x₁•x₂的值

⑶分別過M、N作直線l：y=－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．

⑷對(duì)于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【解題思路】第（1）問，將F（0，1）代入y=kx＋b即可得b值。

⑵要將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程組的解，將方程組變形得關(guān)于x的一元二次方程，

再利用根與系數(shù)的關(guān)系得=－4

（3）要結(jié)合條件并利用（2）中的結(jié)論得到F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，結(jié)合（1）中的結(jié)論得

F F₁=2，再把兩個(gè)結(jié)論結(jié)合得到F₁M₁•F₁N₁=F₁F²

判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性質(zhì)，

就可得到∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，

所以△M₁FN₁是直角三角形．

（4）表示線段長(zhǎng)利用坐標(biāo)所在的函數(shù)關(guān)系，將函數(shù)式相加減表示距離。

運(yùn)用梯形中位線的性質(zhì)，來證明。

【答案】解：⑴b=1

⑵顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得=－4

⑶△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知M₁的橫坐標(biāo)為x₁，N₁的橫坐標(biāo)為x₂，設(shè)M₁N₁交y軸于F₁，

則F₁M₁•F₁N₁=－x₁•x₂=4，而F F₁=2，所以F₁M₁•F₁N₁=F₁F²，

另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易證Rt△M₁FF₁∽R(shí)t△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，

故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁＋∠F₁FN₁=∠FN₁F₁＋∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形．

⑷存在，該直線為y=－1．理由如下：

直線y=－1即為直線M₁N_1．

如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,計(jì)算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF

同理MM₁=MF．

那么MN=MM₁＋NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位線PQ，由中位線性質(zhì)知PQ=（MM₁＋NN₁）=MN，即圓心到直線y=－1的距離等于圓的半徑，所以y=－1總與該圓相切．