Question

4．已知矩形ABCD的邊AB=a，AD=b（a＞b＞0），若點(diǎn)P為CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且記DP=x，直線AP交BC的延長(zhǎng)線于Q，使得DP+CQ為最小時(shí)，a，b、x應(yīng)滿足關(guān)系式為（　　）

• A． x=$\frac{a+b}{2}$
• B． x=$\sqrt{ab}$
• C． a²-b²=x²
• D． $\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$

Answer 1

分析 由PC∥AB得$\frac{PC}{AB}=\frac{CQ}{BQ}$，所以$\frac{a-x}{a}=\frac{CQ}{CQ+b}$，所以CQ=$\frac{ab}{x}-b$，所以DP+CQ=x+$\frac{ab}{x}-b$≥2$\sqrt{ab}$-b，當(dāng)x=$\frac{ab}{x}$時(shí)，DP+CQ的值最小，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，AB∥CD，
∵PC∥AB，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{CQ}{BQ}$，
∴$\frac{a-x}{a}=\frac{CQ}{CQ+b}$，
∴CQ=$\frac{ab}{x}-b$，
∴DP+CQ=x+$\frac{ab}{x}-b$≥2$\sqrt{ab}$-b，
∴當(dāng)x=$\frac{ab}{x}$時(shí)，DP+CQ的值最小，
∴x²=ab，
∴x=$\sqrt{ab}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，不等式的性質(zhì)即a+b≥2$\sqrt{ab}$（a≥0，b≥0）且a=b時(shí)等號(hào)成立，靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)是解決最值的關(guān)鍵．