Question

先閱讀下面的材料再完成下列各題
我們知道，若二次函數y=ax²+bx+c對任意的實數x都有y≥0，則必有a＞0，△=b²-4ac≤0；例如y=x²+2x+1=（x+1）²≥0，則△=b²-4ac=0，y=x²+2x+2=（x+1）²+1＞0，則△=b²-4ac＜0．
（1）求證：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²
（2）若x+2y+3z=6，求x²+y²+z²的最小值；
（3）若2x²+y²+z²=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x²+y²+z²取最小值時，x，y，z的值（直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）構造二次函數：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥0，
∴△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，
即：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²，
當且僅當=…=時等號成立；

（2）根據（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x²+y²+z²）≥36，
∴x²+y²+z²≥；
∴若x+2y+3z=6，則x²+y²+z²的最小值為；

（3）根據（1）可得：（2x²+y²+z²）（+1+1）≥（x+y+z）²，
∵2x²+y²+z²=2，
∴（x+y+z）²≤2×=5，
∴-≤x+y+z≤，
∴若2x²+y²+z²=2，則x+y+z的最大值為；

（4）∵當且僅當x==時，x²+y²+z²取最小值，
設x===k，
則x=k，y=2k，z=3k，
∵x+2y+3z=6，
∴k+4k+9k=6，
解得：k=，
∴當x²+y²+z²取最小值時，x=，y=，z=．
分析：（1）首先構造二次函數：f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），由（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，整理即可證得：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n）²；
（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²，又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；
（3）利用（1）可得：（2x²+y²+z²）（+1+1）≥（x+y+z）²，又由2x²+y²+z²=2，整理求解即可求得答案；
（4）因為當且僅當=…=時等號成立，即可得當且僅當x==時，x²+y²+z²取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．
點評：此題考查了二次函數的綜合應用．此題難度較大，解題的關鍵是根據題意構造二次函數f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²），然后利用判別式求解．