【題目】如圖,△ABC和△ADE中,,,邊AD與邊BC交于點P(不與點B,C重合),點B,E在AD異側(cè),AI、CI分別平分,.
(1)求證:;
(2)設(shè),請用含的式子表示PD,并求PD的最大值;
(3)當(dāng)時,的取值范圍為,分別直接寫出m,n的值.
【答案】(1)見詳解;(2)6-x,3; (3)
【解析】
(1)由條件易證△ABC≌△ADE,得∠BAC=∠DAE,即可得出結(jié)論.
(2)PD=AD﹣AP=6﹣x.AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度,此時PD可得最大值.
(3)應(yīng)用三角形內(nèi)角定理及角平分線定義即可表示出∠AIC,從而得到m,n的值.
(1)在△ABC和△ADE中,(如圖1)
∵,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠BAC=∠DAE,
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE.
(2)∵AD=6,AP=x,∴PD=6﹣x.
當(dāng)AD⊥BC時,APAB=3最小,即PD=6﹣3=3為PD的最大值.
(3)如圖2,設(shè)∠BAP=α,則∠APC=α+30°.
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α.
∵AI、CI分別平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC∠PAC,∠ICA∠PCA,
∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA)=180°(∠PAC+∠PCA)=180°(90°﹣α+60°)
α+105°.
∵0<α<90°,∴105°α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,∴m=105,n=150.
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【題目】如圖,已知△ABE≌△ACD.
(1)如果BE=6,DE=2,求BC的長;
(2)如果∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE的度數(shù).
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【題目】如圖,矩形ABCD的邊長AD=3,AB=2,E為AB的中點,F(xiàn)在邊BC上,且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點M,N,則MN的長為( )
A. B. C. D.
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【題目】中,,,將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,,它們交于點,
①求證:.
②當(dāng),求的度數(shù).
③當(dāng)四邊形是菱形時,求的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點 A,B的坐標(biāo)分別為(0,3),(1,0),△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°.
(1)圖1中,點C的坐標(biāo)為 ;
(2)如圖2,點D的坐標(biāo)為(0,1),點E在射線CD上,過點B 作BF⊥BE交y軸于點F.
①當(dāng)點E為線段CD的中點時,求點F的坐標(biāo);
②當(dāng)點E在第二象限時,請直接寫出F點縱坐標(biāo)y的取值范圍.
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【題目】用兩個全等的等邊和拼成如圖的菱形.現(xiàn)把一個含角的三角板與這個菱形疊合,使三角板的角的頂點與點重合,兩邊分別與、重合.將三角板繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn).
如圖,當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊、相交于點、時,探求、、的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板,當(dāng)兩邊、分別交、的延長線于點、時,畫出旋轉(zhuǎn)后相應(yīng)的圖形,并直接寫出、、滿足的數(shù)量關(guān)系式.
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【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若四邊形 BEDF是菱形,則四邊形AGBD是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB。
(1)△BPQ是 三角形;
(2)求PQ的長度;
(3)求∠APB的度數(shù)。
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【題目】如圖,在△ABC中,已知點D在線段AB的反向延長線上,過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周長.
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