Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE中，，，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，AI、CI分別平分，．

（1）求證：；

（2）設(shè)，請(qǐng)用含的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，分別直接寫出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）6-x,3; (3)

【解析】

（1）由條件易證△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結(jié)論．

（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．AP的最小值即AP⊥BC時(shí)AP的長(zhǎng)度，此時(shí)PD可得最大值．

（3）應(yīng)用三角形內(nèi)角定理及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．

（1）在△ABC和△ADE中，（如圖1）

∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，

即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．

當(dāng)AD⊥BC時(shí)，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．

（3）如圖2，設(shè)∠BAP=α，則∠APC=α+30°．

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．

∵AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，

∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）

α+105°．

∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．