Question

平面直角坐標系中，O是坐標原點．直線y=kx+b（k≠0）經過點A（1，2），與x軸交于點M，與y軸交于點N．若OA²=AM•AN，則點M的坐標是________．

Answer 1

（5，0）、（-3，0），（0，0）、（2，0）
分析：把A的坐標代入直線的解析式求出y=（2-b）x+b，求出M、N的坐標，根據已知和勾股定理得到25=[4+]×[1+（b-2）²]，求出方程的解即可
解答：把A（1，2）代入y=kx+b得：2=k+b，
∴k=2-b，
∴y=（2-b）x+b，
當x=0時y=b，
當y=0時，x=，
∴N（0，b），M（，0），
∵OA²=AM•AN，
∴OA⁴=AN²•AM²，
由勾股定理得：OA==，
25=[4+]×[1+（b-2）²]，
25=[4+]×[1+（b-2）²]，
25=4+4（b-2）²++4，
即+4（b-2）²-17=0，
解得：b₁=，b₂=，b₃=4，b₄=0，
∴的值是5或-3或2或0，
∴M的坐標是（5，0），（-3，0），（2，0），（0，0），
故答案為：（5，0），（-3，0），（2，0），（0，0）．
點評：本題主要考查對勾股定理，一次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．